Question

已知函数f（x）满足f(x+a)=-

1

x

-1(a∈R)．
（Ⅰ）若f（x）的定义域为（-∞，a）∪（a，+∞），求证：f（x）+f（2a-x）=-2对定义域内所有x都成立；
（Ⅱ）若f（x）的定义域为[a+

1

2

，a+1]时，求f（x）的值域；
（Ⅲ）若f（x）的定义域为（-∞，a）∪（a，+∞），设函数g（x）=x²+|（x-a）f（x）|，当a≥

1

2

时，求g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据函数f（x）满足f(x+a)=-

1

x

-1(a∈R)，求出f（x）和f（2a-x），代入验证f（x）+f（2a-x）=-2；（Ⅱ）根据（Ⅰ）求得f（x）和f（x）的定义域为[a+

1

2

，a+1]，分析求出f（x）的值域；（Ⅲ）把（Ⅰ）求得f（x）代入函数g（x）=x²+|（x-a）f（x）|，去绝对值，转化为分段函数求最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x+a）=-

1

x

-1=-

1

(x+a)-a

-1
∴f（x）=

x+1-a

a-x

（a∈R且x≠a）
∴f（x）+f（2a-x）=

x+1-a

a-x

+

2a-x+1-a

a-2a+x

=

x+1-a

a-x

+

a-x+1

x-a

=

x+1-a-a+x-1

a-x

=

2(x-a)

a-x

=-2．
（Ⅱ）当a+

1

2

≤x≤a+1时，
-1≤a-x≤-

1

2

，即-2≤

1

a-x

≤-1，亦即-3≤-1+

1

a-x

≤-2，
∴-3≤

x+1-a

a-x

≤-2，
故f（x）的值域为[-3，-2]．
（Ⅲ）g（x）=x²+|x+1-a|=

(x+ 1 2 )2+ 3 4 -a ，(x≥a-1) (x- 1 2 )2+a- 5 4 ，(x＜a-1)

，（x≠a）．
①当x≥a-1且x≠a时，g（x）=x²+x+1-a=(x+

1

2

)2+

3

4

-a，
∵a≥

1

2

，∴a-1≥-

1

2

，即a≥

1

2

时，
在函数在[a-1，a）和（a，+∞）上单调递增，
g_min（x）=g（a-1）=（a-1）²；．
②当x≤a-1时，g（x）=x²-x-1+a=(x-

1

2

)2+a-

5

4

，
如果a-1≤

1

2

，即a≤

3

2

时，g（x）在（-∞，a-1]上为减函数，
g_min（x）=g（a-1）=（a-1）²．
如果a-1＞

1

2

，即a＞

3

2

时，g_min（x）=g(

1

2

)=a-

5

4

；
因为当a＞

3

2

时，(a-1)2-(a-

5

4

)=(a-

3

2

)2＞0，
即（a-1）²＞a-

5

4

．
综上所述，当

1

2

≤a≤

3

2

时，g（x）的最小值是（a-1）²；
当a＞

3

2

时，g（x）的最小值是a-

5

4

．

点评：考查根据复合函数求函数的解析式，函数值域的求法，即分段函数的最值问题，应用了换元的方法，体现了分类讨论的思想，属难题．