Question

过直角坐标平面xOy中的抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F作一条倾斜角为

π

4

的直线与抛物线相交于A、B两点．
（1）求直线AB的方程；
（2）试用p表示A、B之间的距离；
（3）当p=2时，求∠AOB的余弦值．
参考公式：（x_A²+y_A²）（x_B²+y_B²）=x_Ax_B[x_Ax_B+2p（x_A+x_B）+4p²]．

Answer 1

分析：（1）根据所给的抛物线的方程写出抛物线的焦点坐标，又有所给的直线的倾斜角得到这条直线的斜率，由点斜式写出直线的方程，整理成最简形式．
（2）要求两点之间的距离，首先要把直线与抛物线方程联立，整理出关于x的方程，根据根和系数之间的关系，和抛物线的定义，写出结果．
（3）根据所给的p的值，写出具体的直线的方程，把直线的方程和抛物线方程联立，利用韦达定理，写出根与系数之间的关系，利用余弦定理写出要求的角的余弦值，得到结果．

解答：解：（1）由题意知焦点F(

p

2

，0)，
∴过抛物线焦点且倾斜角为

π

4

的直线方程是y=x-

p

2

，
即x-y-

p

2

=0，
（2）由

y2=2px y=x- p 2

?x2-3px+

p2

4

=0?xA+xB=3p，xAxB=

p2

4

?|AB|=x_A+x_B+p=4p．
（3）由

y2=4x y=x-1

?x²-6x+1=0?x_A+x_B=6，x_Ax_B=1.cos∠AOB=

|AO|2+|BO|2-|AB|2

2|AO||BO|

=

xA2+yA2+xB2+yB2-(xA-xB)2-(yA-yB)2

2 (xA2+yA2)(xB2+yB2)

=

xAxB+yAyB

(xA2+yA2)(xB2+yB2)

=

2xAxB- p 2 (xA+xB)+ p2 4

xAxB[xAxB+2p(xA+xB)+4p2]

=-

3 41

41

．
∴∠AOB的大小是与p无关的定值．

点评：本题考查直线与圆锥曲线之间的关系，实际上这种问题在解题时考虑的解题方法类似，都需要通过方程联立来解决问题，注意本题中抛物线还有本身的特点，注意使用．