Question

过直角坐标平面xOy中的抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F作一条倾斜角为

π

4

的直线与抛物线相交于A、B两点．
（1）用p表示A，B之间的距离；
（2）证明：∠AOB的大小是与p无关的定值，并求出这个值．

Answer 1

分析：（1）焦点F（1，0），过抛物线的焦点且倾斜角为

π

4

的直线方程是y=x-

p

2

由

y2=2px y=x- p 2

?x2-3px+

p2

4

=0，由此能用p表示A，B之间的距离．
（2）由题设知cos∠AOB=

|AO|2+|BO|2-|AB|2

2|AO||BO|

=

xA2+yA2+xB2+yB2-(xA-xB)2-(yA-yB)2

2 (xA2+yA2)(xB2+yB2)

=

xAxB+yAyB

(xA2+yA2)(xB2+yB2)

=

2xAxB- p 2 (xA+xB)+ p2 4

xAxB[xAxB+2p(xA+xB)+4p2]

=-

3 41

41

，由此可知∠AOB的大小是与p无关的定值，并能求出这个定值．

解答：解：（1）焦点F（1，0），过抛物线的焦点且倾斜角为

π

4

的直线方程是y=x-

p

2

由

y2=2px y=x- p 2

?x2-3px+

p2

4

=0?xA+xB=3p，xAxB=

p2

4

?|AB|=x_A+x_B+p=4p
（或|AB|=

2p

sin2 π 4

=4p）

（2）cos∠AOB=

|AO|2+|BO|2-|AB|2

2|AO||BO|

=

xA2+yA2+xB2+yB2-(xA-xB)2-(yA-yB)2

2 (xA2+yA2)(xB2+yB2)

=

xAxB+yAyB

(xA2+yA2)(xB2+yB2)

=

2xAxB- p 2 (xA+xB)+ p2 4

xAxB[xAxB+2p(xA+xB)+4p2]

=-

3 41

41

∴∠AOB的大小是与p无关的定值，∠AOB=π-arccos

3 41

41

．

点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要仔细审题，认真解答．