Question

（本题满分18分）对于定义域为D的函数，如果存在区间，同时满足：

①在内是单调函数；

②当定义域是时，的值域也是．

则称是该函数的“和谐区间”．

（1）证明：是函数的一个“和谐区间”．

（2）求证：函数不存在“和谐区间”．

（3）已知：函数（）有“和谐区间”，当变化时，求出的最大值．

Answer 1

（18分）（1）在区间上单调递增．………………2分

又，，值域为，

区间是的一个“和谐区间”．…………4分

（2）设是已知函数定义域的子集．，或，故函数在上单调递增．

若是已知函数的“和谐区间”，则……………8分

故、是方程的同号的相异实数根．

无实数根，函数不存在“和谐区间”．………………10分

（3）设是已知函数定义域的子集．，或，故函数在上单调递增．

若是已知函数的“和谐区间”，则……………14分

故、是方程，即的同号的相异实数根．

，，同号，只须，即或时，已知函数有“和谐区间”，，

当时，取最大值………………18分