Question

已知定义在区间[-π，

3π

2

]上的函数y=f（x）图象关于直线x=

π

4

对称，当x≥

π

4

时，f（x）=-sinx．
（1）作出y=f（x）的图象；
（2）求y=f（x）的解析式；
（3）若关于x的方程f(x)=-

9

10

有解，将方程所有的解的和记为M，结合（1）中函数图象，求M的值．

Answer 1

分析：（1）根据图象的对称性做出y=f（x）的图象．
（2）任取x∈[-π，

π

4

]，则

π

2

-x∈[

π

4

，

3π

2

]，由题意得f(x)=f(

π

2

-x)．再根据当x≥

π

4

时，f（x）=-sinx，
求出解析式．
（3）因为-

9

10

∈（-1，-

2

2

），f（x）=-

9

10

 有4个根满足 x₁＜x₂＜

π

4

＜x₃＜x₄，利用对称性求出M的值．

解答：解：（1）y=f（x）的图象如图所示．
（.4分）
（2）任取x∈[-π，

π

4

]，则

π

2

-x∈[

π

4

，

3π

2

]，由于函数f（x）图象关于直线x=

π

4

对称，
则f(x)=f(

π

2

-x)．（6分）
又当x≥

π

4

时，f（x）=-sinx，则f(x)=f(

π

2

-x)=-sin（

π

2

-x）=-cosx，（8分）
即f(x)=

-cosx，x∈[-π， π 4 ) -sinx，x∈[ π 4 ， 3π 2 ]

．（10分）
（3）因为-

9

10

∈（-1，-

2

2

），f（x）=-

9

10

 有4个根满足 x₁＜x₂＜

π

4

＜x₃＜x₄，（12分）
由对称性得，x₁+x₂=0，x₃+x₄=π，则M=x₁+x₂ +x₃+x₄=π．（14分）

点评：本题主要考查正弦函数的图象，根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，解答关键是运用数形结合的思想，属于中档题．