Question

18．已知函数f（x）=1+sin2x．
（1）请用“五点法”画出函数f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图．
（2）f（-$\frac{π}{3}$）的值；
（3）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根据“五点法”即可画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图．
（2）利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求值．
（3）利用正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 解：（1）①列表：

x	0	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{3π}{4}$	π
2x	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
f（x）=1+sin2x	1	2	1	0	1

②在坐标系中描出以上五点，
③用光滑的曲线连接这五点，得所要求作的函数图象如下：

（2）f（-$\frac{π}{3}$）=1+sin[2×（-$\frac{π}{3}$）]=1-sin$\frac{2π}{3}$=$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$．
（3）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x∈[0，π]，
∴当2x=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{4}$时函数f（x）的最大值为2，当2x=0或π，即x=0，或$\frac{π}{2}$时函数f（x）的最小值1．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握五点法作图以及函数图象之间的变化关系，属于中档题．