Question

已知直线l：y=kx+b，曲线M：y=|x²-2|．
（1）若k=1且直线与曲线恰有三个公共点时，求实数b的取值；
（2）若b=1，直线与曲线M的交点依次为A，B，C，D四点，求|AB+|CD|的取值范围．

Answer 1

解（Ⅰ）分两种情况：
1）有惟一解，即x²+x+b-2=0在（-，）内有一解，
由△=1-4b+8=0，得 ，符合．
2）直线过点（-，0），得0=-+b，得，
综上，实数b为 或 ．
（Ⅱ）由，得x²-kx-3=0，
则有：，且 ．
由，得 x²+kx-1=0，则有：．
所以，|AB|+|CD|=|AD|-|BC|==
=，且 ．
令t=k²，则 ，则，且函数y是增函数，
所以，．
分析：（Ⅰ）由题意知，直线和半圆只有一个交点或直线过点（-，0），两种情况分别求出实数b的取值．
（Ⅱ）先利用弦长公式求出直线和抛物段的2个交点间的距离AD的长度，同理求出直线与半圆的2个交点间的距离
BC的长度，利用|AB|+|CD|=|AD|-|BC|求出|AB+|CD|的取值范围．
点评：本题考查二次函数的图象特征，直线和二次曲线的位置关系，体现了数形结合及分类讨论的数学思想，属于中档题．