Question

如图， 在矩形中，点分别在线段上，.沿直线将 翻折成，使平面.
（Ⅰ）求二面角的余弦值；
（Ⅱ）点分别在线段上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长。

Answer 1

(1)；（2）21/4.

本试题主要是考查了立体几何中的二面角的求解以及折叠图中的线段的长度问题。

（Ⅰ）解：取线段EF的中点H，连结A’H，因为=及H是EF的中点，所以A’HEF,
又因为平面A’EF平面BEF.如图建立空间直角坐标系A-xyz,
则A’（2，2，），C（10，8，0），F（4，0，0），D（10，0，0）. 
故=（-2，2，），=（6，0，0）.
设=（x,y,z）为平面A’FD的一个法向量，
       -2x+2y+z=0
所以    6x=0.
取，则。又平面BEF的一个法向量，
故。  所以二面角的余弦值为
（Ⅱ）解：设FM=X则M(4+X,0,0)，
因为翻折后，C与A重合，所以CM=A’M，
得X=21/4，
经检验，此时点N在线段BC上，所以FM=21/4。