Question

3．已知函数f（x）=$\frac{2x+3}{3x}$，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（$\frac{1}{{a}_{n}}$），n∈N^*．数列{a_n}的通项公式；（　　）

• A． a_n=$\frac{2}{3}$n+$\frac{1}{3}$
• B． a_n=$\frac{2}{3}$n-$\frac{1}{3}$
• C． a_n=$\frac{1}{3}$n+$\frac{1}{3}$
• D． a_n=$\frac{2}{3}$n+$\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 由函数f（x）的解析式，化简整理可得a_n+1=a_n+$\frac{2}{3}$，由等差数列的通项公式，计算即可得到所求．

解答 解：由函数f（x）=$\frac{2x+3}{3x}$，
可得a_n+1=$\frac{\frac{2}{{a}_{n}}+3}{\frac{3}{{a}_{n}}}$，即为a_n+1=a_n+$\frac{2}{3}$，
则数列{a_n}为首项为1，公差为$\frac{2}{3}$的等差数列，
即有a_n=a₁+（n-1）d=1+$\frac{2}{3}$（n-1）=$\frac{2n+1}{3}$．
故选A．

点评 本题考查等差数列的定义、通项公式的运用，考查运算求解能力，属于基础题．