Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，点D是BC的中点．
（1）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（2）如果点E是B₁C₁的中点，求证：平面A₁BE⊥平面BCC₁B₁．

Answer 1

证明：（1）连接A₁C交AC₁于点O，连接OD
在△A₁BC中，∵点D是BC的中点，O是A₁C的中点
∴A₁B∥OD
∵OD?平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁；
∴A₁B∥平面ADC₁；
（2）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，C₁C⊥平面ABC
∴C₁C⊥AD
在△ABC中，AD⊥BC
∵BC∩C₁C=C
∴AD⊥平面BCC₁B₁
连接DE，∵E是B₁C₁的中点
∴四边形B₁BDE为平行四边形
∴B₁B∥ED，B₁B=ED
∵B₁B∥A₁A，B₁B=A₁A
∴ED∥A₁A，ED=A₁A
∴四边形A₁ADE为平行四边形
∴A₁E∥AD
∴A₁E⊥平面BCC₁B₁
∵A₁E?平面A₁BE
∴平面A₁BE⊥平面BCC₁B₁．
分析：（1）证明A₁B∥平面ADC₁，利用线面平行的判定，只需证明A₁B∥OD即可
（2）证明平面A₁BE⊥平面BCC₁B₁，利用面面垂直的判定，证明A₁E⊥平面BCC₁B₁即可．
点评：本题考查线面平行，考查面面垂直，解题的关键是正确运用线面平行，面面垂直的判定定理，属于中档题．