Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，且满足a_n+1=a_n+1，n∈N^*．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设为非零整数，n∈N^*），试确定λ的值，使得对任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n成立．

Answer 1

解：（I）∵a_n+1=a_n+1，n∈N^*，∴a_n+1-a_n=1，n∈N^*…（2分）
∴数列{a_n}是以2为首项，1为公差的等差数列． …（4分）
∴a_n=n+1…（5分）
（ II）∵a_n=n+1，
∴． …（6分）
∴要使b_n+1＞b_n恒成立，
只要恒成立，
∴3•4ⁿ-3λ•（-1）^n-12ⁿ⁺¹＞0恒成立，
∴（-1）^n-1λ＜2^n-1恒成立． …（8分）
（ⅰ）当n为奇数时，即λ＜2^n-1恒成立，由于当且仅当n=1时，2^n-1有最小值为1，∴λ＜1． …（10分）
（ⅱ）当n为偶数时，即λ＞-2^n-1恒成立，当且仅当n=2时，-2^n-1有最大值-2，
∴λ＞-2…（12分）
综上知-2＜λ＜1，再由λ为非零整数，可得λ=-1．
综上所述，存在λ=-1，使得对任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n． …（13分）
分析：（I）由a_n+1=a_n+1，n∈N^*，可得数列{a_n}是以2为首项，1为公差的等差数列，从而求得数列{a_n}的通项公式．
（II）先求出{b_n}的通项公式，由条件可得（-1）^n-1λ＜2^n-1恒成立，分n为奇数和n为偶数分别求出λ的取值范围，再由λ为非零整数，可得λ的值．
点评：本题主要考查数列的函数特性，函数的恒成立问题，等差数列的通项公式的应用，属于基础题．