Question

已知三角形△ABC三内角满足A、B、C成等差数列，tanAtanC=2+

3

，又顶点C对边c上的高等于4

3

，求三角形三边a、b、c的长．

Answer 1

分析：由A，B及C成等差数列，利用等差数列的性质得到A+C=2B，再利用三角形的内角和定理求出B的度数，进而得到A+C的度数，利用两角和与差的正切函数公式化简tan（A+C），根据A+C的度数，利用特殊角的三角函数值求出tan（A+C）的值，把已知的tanAtanC的值代入，求出tanA+tanC的值，根据韦达定理得到关于tanA和tanC的方程，求出方程的解得到tanA和tanC的值，利用特殊角的三角函数值求出A和C的度数，进而得到B的度数，由c边上的高，利用正弦定理求出a及b的值，再由a，sinA及sinC的值，利用正弦定理即可求出c的值．

解答：解：由A+B+C=180°及A+C=2B，
得B=60°，A+C=120°，…（2分）
∴tan(A+C)=

tanA+tanC

1-tanAtanC

=-

3

，又tanAtanC=2+

3

，
∴tanA+tanC=3+

3

，…（4分）
∴tanA，tanC为二次方程x²-（3+

3

）x+2+

3

=0的根，
∴tanA=1，tanA=2+

3

或tanC=2+

3

，tanC=1，
∴A=45°，C=75°或A=75°，C=45°，…（8分）
①若A=45°，C=75°，则B=60°，
根据正弦定理

a

sin90°

=

h

sin60°

，

b

sin90°

=

h

sin45°

，

c

sinC

=

a

sinA

，
则a=

4 3

sin60°

=8，b=

4 3

sin45°

=4

6

，c=

asinc

sinA

=4(

3

+1)；…（10分）
②若A=75°，C=45°，则B=60°，同理可得：
a=8，b=4（3

2

-

6

），c=8（

3

-1）．…（12分）

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：两角和与差的正切函数公式，等差数列的性质，韦达定理，正弦定理以及特殊角的三角函数值，此题求出的结果有两种情况，都符合题意，注意不要漏解．