Question

已知三角形△ABC三内角满足A、B、C成等差数列，tanAtanC=2+

3

，又顶点C对边c上的高等于4

3

，求三角形三边a、b、c的长．

Answer 1

由A+B+C=180°及A+C=2B，
得B=60°，A+C=120°，…（2分）
∴tan(A+C)=

tanA+tanC

1-tanAtanC

=-

3

，又tanAtanC=2+

3

，
∴tanA+tanC=3+

3

，…（4分）
∴tanA，tanC为二次方程x²-（3+

3

）x+2+

3

=0的根，
∴tanA=1，tanA=2+

3

或tanC=2+

3

，tanC=1，
∴A=45°，C=75°或A=75°，C=45°，…（8分）
①若A=45°，C=75°，则B=60°，
根据正弦定理

a

sin90°

=

h

sin60°

，

b

sin90°

=

h

sin45°

，

c

sinC

=

a

sinA

，
则a=

4 3

sin60°

=8，b=

4 3

sin45°

=4

6

，c=

asinc

sinA

=4(

3

+1)；…（10分）
②若A=75°，C=45°，则B=60°，同理可得：
a=8，b=4（3

2

-

6

），c=8（

3

-1）．…（12分）