Question

如图，有一块边长为a的正三角形的铁皮，在正三角形的三个角上剪去三个相同的四边形，余下部分按图中的虚线剪割，可焊接成一个缺上盖的正三棱柱容器，当容积最大时，能否用边角废料焊接成容器的上盖？如果能，则说明理由；如果不能，则如何剪接，可使容器有上盖且容积最大？

      

Answer 1

解析：如题图所示，设AD=x,则PQ=a-2x，高h=PD=x.?

       ∴V(x)= (a-2x)²·=(4x³-4ax²+a²x)(0<x<).?

       对其求导，得V′(x)=(12x²-8ax+a²).?

       令V′(x)=0,得x=或x= (舍).?

       又当x∈(0, )时，V′(x)>0,当x∈(,)时，V′(x)<0，?

       ∴当x=时，即PQ=a-2x=时，V(x)取得最大值.?

       故当容器的底面边长为时，容器的容积最大.?

       当x=时，则剩下来的三个边角只能拼成一个边长为的小正三角形，因而它不能焊接成容器的上盖.?

       由于剩下来的三个边角只能拼成一个边长为2x的正三角形，?

       因此要使剩下来的废料能拼接成容器的上盖，?

       则2x≥a-2x，即x≥.?

       而V(x)在［,］上递减，?

       当x=，即a-2x=时，V(x)取得最大值.?

       故剪接时使容器的底面边长为时，其边角废料能焊接成容器的上盖且容积最大.