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如图,有一块边长为a的正三角形的铁皮,在正三角形的三个角上剪去三个相同的四边形,余下部分按图中的虚线剪割,可焊接成一个缺上盖的正三棱柱容器,当容积最大时,能否用边角废料焊接成容器的上盖?如果能,则说明理由;如果不能,则如何剪接,可使容器有上盖且容积最大?

      

解析:如题图所示,设AD=x,则PQ=a-2x,高h=PD=x.?

       ∴V(x)= (a-2x)2·=(4x3-4ax2+a2x)(0<x<).?

       对其求导,得V′(x)=(12x2-8ax+a2).?

       令V′(x)=0,得x=x= (舍).?

       又当x∈(0, )时,V′(x)>0,当x∈(,)时,V′(x)<0,?

       ∴当x=时,即PQ=a-2x=时,V(x)取得最大值.?

       故当容器的底面边长为时,容器的容积最大.?

       当x=时,则剩下来的三个边角只能拼成一个边长为的小正三角形,因而它不能焊接成容器的上盖.?

       由于剩下来的三个边角只能拼成一个边长为2x的正三角形,?

       因此要使剩下来的废料能拼接成容器的上盖,?

       则2xa-2x,即x.?

       而V(x)在[,]上递减,?

       当x=,即a-2x=时,V(x)取得最大值.?

       故剪接时使容器的底面边长为时,其边角废料能焊接成容器的上盖且容积最大.

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