Question

数列{a_n}，已知对任意正整数n，a₁+a₂+a₃+…+a_n=2ⁿ-1，则a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n² 等于（　　）

• A、（2ⁿ-1）²
• B、

  1

  3

  (2n-1)
• C、

  1

  3

  (4n-1)
• D、4ⁿ-1

Answer 1

分析：首先根据a₁+a₂+a₃+…+a_n=2ⁿ-1，求出a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=2^n-1-1，两式相减即可求出数列{a_n}的关系式，然后求出数列{a_n²}的递推式，最后根据等比数列求和公式进行解答．

解答：解：∵a₁+a₂+a₃+…+a_n=2ⁿ-1…①
∴a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=2^n-1-1…②，
①-②得a_n=2^n-1，
∴a_n²=2^2n-2，
∴数列{a_n²}是以1为首项，4为公比的等比数列，
∴a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²=

1-4n

1-4

=

1

3

(4n-1)，
故选C．

点评：本题主要考查数列求和和求数列递推式的知识点，解答本题的关键是求出数列{a_n}的通项公式，本题难度一般．