Question

（2012•昌平区二模）某游乐场将要举行狙击移动靶比赛．比赛规则是：每位选手可以选择在A区射击3次或选择在B区射击2次，在A区每射中一次得3分，射不中得0分； 在B区每射中一次得2分，射不中得0分．已知参赛选手甲在A区和B区每次射中移动靶的概率分别是

1

4

和p（0＜p＜1）．
（Ⅰ） 若选手甲在A区射击，求选手甲至少得3分的概率；
（Ⅱ） 我们把在A、B两区射击得分的数学期望高者作为选择射击区的标准，如果选手甲最终选择了在B区射击，求p的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设“选手甲在A区射击得0分”为事件M，“选手甲在A区射击至少得（3分）”为事件N，由事件M与事件N为对立事件，能求出选手甲至少得3分的概率．
（Ⅱ） 设选手甲在A区射击的得分为ξ，则ξ的可能取值为0，3，6，9．分别求出期概率，由此能求出ξ的数学期望．设选手甲在B区射击的得分为η，则η的可能取值为0，2，4．分别求出其概率，由此能求出η的数学期望，由此能够求出p的取值范围．

解答：（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设“选手甲在A区射击得0分”为事件M，“选手甲在A区射击至少得（3分）”为事件N，
则事件M与事件N为对立事件，
P(M)=

C

0 3

•(

1

4

)0•(1-

1

4

)3=

27

64

…（2分）
P(N)=1-P(M)=1-

27

64

=

37

64

…（4分）
（Ⅱ） 设选手甲在A区射击的得分为ξ，
则ξ的可能取值为0，3，6，9.P(ξ=0)=(1-

1

4

)3=

27

64

；
P(ξ=3)=

C

1 3

•

1

4

•(1-

1

4

)2=

27

64

；
P(ξ=6)=

C

2 3

(

1

4

)2(1-

1

4

)=

9

64

；
 P(ξ=9)=(

1

4

)3=

1

64

ξ	0	3	6	9
P	27 64	27 64	9 64	1 64

所以ξ的分布列为∴Eξ=0×

27

64

+3×

27

64

+6×

9

64

+9×

1

64

=

9

4

设选手甲在B区射击的得分为η，
则η的可能取值为0，2，4．P（η=0）=（1-p）²；
P(η=2)=

C

1 2

•p•(1-p)=2p(1-p)；
P（η=4）=p²
所以η的分布列为

η	0	2	4
P	（1-p）2	2p（1-p）	p2

∴Eη=0×（1-p）²+2•2p（1-p）+4•p²=4p
根据题意，有  Eη＞Eξ，
∴4p＞

9

4

，
∴

9

16

＜p＜1…（13分）

点评：本题考查离散随机变量的概率分布列和数学期望，是历年高考的必考题型之一．解题时要认真审题，注意排列组合知识和概率知识的灵活运用．