Question

19．（理）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，则异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• B． $\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
• C． $\frac{{2\sqrt{2}}}{5}$
• D． $-\frac{{2\sqrt{2}}}{5}$

Answer 1

分析 建立空间坐标系，求出异面直线AC₁与B₁C的方向向量，代入向量夹角公式，可得答案．

解答 解：∵直三棱锥ABC-A₁B₁C₁底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，AC，BC，CC₁两两垂直．

如图建立坐标系，则C（0，0，0），A（3，0，0），C₁（0，0，4），B₁（0，4，4），
∴$\overrightarrow{{AC}_{1}}$=（-3，0，4），$\overrightarrow{{CB}_{1}}$=（0，4，4），
设异面直线AC₁与B₁C所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{AC}_{1}}•\overrightarrow{{CB}_{1}}|}{\left|\overrightarrow{{AC}_{1}}\right|•\left|\overrightarrow{{CB}_{1}}\right|}$=$\frac{16}{20\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{5}$，
∴异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值为$\frac{2\sqrt{2}}{5}$，
故选：C

点评 本题考查的知识点是异面直线所成的角，建立空间坐标系，将异面直线夹角转化为向量夹角，是解答的关键．