Question

（2013•乌鲁木齐一模）如图，单位正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P在平面A₁BC₁上，则三棱锥P-ACD₁的体积 为

1

6

．

Answer 1

分析：根据正方体的几何特征，可由面面平行的第二判定定理得到平面A₁BC₁∥平面ACD₁，进而得到P到平面ACD₁的距离等于平面A₁BC₁与平面ACD₁间的距离，由此得到棱锥的底面面积和高后，代入棱锥体积公式，可得答案．

解答：解：∵A₁C₁∥AC，A₁B∥CD₁，
A₁C₁∩A₁B=A₁，AC∩CD₁=C，A₁C₁，A₁B?A₁BC₁，AC，CD₁?ACD₁，
∴平面A₁BC₁∥平面ACD₁，
∴P到平面ACD₁的距离等于平面A₁BC₁与平面ACD₁间的距离，
等于

1

3

B₁D=

3

3

，
而三角形ACD₁的面积S=

1

2

•AD₁•CD₁•sin60°=

3

2

，
∴三棱锥P-ACD₁的体积V=

1

3

×

3

2

×

3

3

=

1

6

故答案为：

1

6

点评：本题考查的知识点是棱锥的体积，其中分析出P到平面ACD₁的距离等于平面A₁BC₁与平面ACD₁间的距离，是解答的关键