Question

设a＞1，则当y=a^x与y=log_ax两个函数图象有且只有一个公共点时，lnlna=________．

Answer 1

-1
分析：利用同底的指数函数和对数函数互为反函数的性质，得到两个函数只有一个公共点的等价条件．
解答：因为y=a^x与y=log_ax两个函数互为反函数，它们的图象关于y=x对称，所以要使两个函数图象有且只有一个公共点时，则它们y=x是两个函数的共同的切线．
设两个函数相切时的切点坐标为M（x₀，y₀），由于曲线y=a^x在M处的切线斜率为1，
所以，且函数y=a^x的导数为，
即，所以，
则，两边取对数得=1，
所以解得e=，所以，即，此时x₀=e．
所以lnlna═ln（）=-1．
故答案为：-1．
点评：本题主要考查指数函数和对数函数互为反函数，以及利用导数求曲线切线问题，综合性较强，难度较大．