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在三角形ABC,已知tan
A+B
2
=sinC,下列四个论断中正确的是(  )
①tanA•cotB=1;   ②0<sinA+sinB≤
2
;   ③sin2A+cos2B=1;   ④cos2A+cos2B=sin2C.
A.①③B.②④C.①④D.②③
∵tan
A+B
2
=sinC
sin
A+B
2
cos
A+B
2
=2sin
A+B
2
cos
A+B
2

整理求得cos
A+B
2
=
2
2

∴A+B=90°.
∴tanA•cotB=tanA•tanA不一定等于1,①不正确.
∴sinA+sinB=sinA+cosA
=
2
sin(A+45°)
45°<A+45°<135°,
2
2
<sin(A+45°)≤1,
∴1<sinA+sinB≤
2

所以②正确
sin2A+cos2B=sin2A+sin2A=2sin2A≠1,③不正确.
cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1,
sin2C=sin290°=1,
所以cos2A+cos2B=sin2C.
所以④正确.
故选B.
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①tanA•cotB=1;   ②0<sinA+sinB≤;   ③sin2A+cos2B=1;   ④cos2A+cos2B=sin2C.
A.①③
B.②④
C.①④
D.②③

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