Question

抛物线y²＝2px（p＞0）上纵坐标为－p的点M到焦点的距离为2．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）如图，A，B，C为抛物线上三点，且线段MA，MB，MC 与x轴交点的横坐标依次组成公差为1的等差数列，若△AMB的面积是△BMC面积的，求直线MB的方程．

Answer 1

（本题15分）:（Ⅰ）解：设， 则，，
由抛物线定义，得所以．              ……5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线方程为，．
设，， （均大于零）  ……6分
，， 与轴交点的横坐标依次为．
（1）当轴时，直线的方程为，则，不合题意，舍去．……7分
（2）与轴不垂直时，，
设直线的方程为，即，
令得2，同理2，2，                ……10分
因为依次组成公差为1的等差数列，
所以组成公差为2的等差数列．　　　　　　　　　    ……12分
设点到直线的距离为，点到直线的距离为，
因为，所以=2，
所以　　    　……14分
得，即，所以，
所以直线的方程为：             　　       ……15分
解法二：（Ⅰ）同上．     （Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线方程为，．
由题意，设与轴交点的横坐标依次为
设， （均大于零）．                  ……6分
（1）当轴时，直线的方程为，则，不合题意，舍去． ……7分
（2）与轴不垂直时，
设直线的方程为，即，
同理直线的方程为，
由　得　
则 所以，                         ……12分
同理，设点到直线的距离为，点到直线的距离为，    因为，所以=2，
所以 ……14分
化简得，即，
所以直线的方程为：             　　       ……15分

略