Question

9．如图所示，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，AB=BB₁=4，BC=5，D为BC的中点．
（1）求证：AB⊥A₁C；
（2）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（3）求三棱锥B₁-ABD的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出AB⊥AA₁，AB⊥AC，从而AB⊥平面ACC₁A₁，由此能证明AB⊥A₁C．
（2）连结AB₁，A₁B，交于点O，连结OD，推导出OD∥A₁C，由此能证明A₁C∥平面AB₁D．
（3）由BB₁⊥平面ABD，${S}_{△ABD}=\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$，能求出三棱锥B₁-ABD的体积．

解答 证明：（1）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，
∴AB⊥AA₁，
∵AC=3，AB=BB₁=4，BC=5，∴AC²+AB²=BC²，∴AB⊥AC，
∵AA₁∩AC=A，∴AB⊥平面ACC₁A₁，
∵A₁C?平面ACC₁A₁，∴AB⊥A₁C．
（2）连结AB₁，A₁B，交于点O，连结OD，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BAA₁B₁是矩形，∴O是A₁B的中点，
∵D为BC的中点，∴OD∥A₁C，
∵OD?平面AB₁D，A₁C?平面AB₁D，
∴A₁C∥平面AB₁D．
解：（3）∵BB₁⊥平面ABD，${S}_{△ABD}=\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×4×3$=3，
∴三棱锥B₁-ABD的体积V=$\frac{1}{3}×B{B}_{1}×{S}_{△ABD}$=$\frac{1}{3}×4×3$=4．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．