Question

1．设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O、所成的角为60°的直线A₁B₁和A${2}_{\;}^{\;}$B₂，使|A₁B₁|=|A${2}_{\;}^{\;}$B₂|，其中A₁、B₁和A₂、B₂分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是$（\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，2]$．

Answer 1

分析 先设出双曲线的方程，并根据题意画出图象，根据对称性和条件判断出双曲线的渐近线斜率的范围，列出不等式并转化为关于离心率的不等式，再求解即可．

解答 解：不妨设双曲线的方程是$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
由|A₁B₁|=|A₂B₂|及双曲线的对称性知A₁，A₂，B₁，B₂关于x轴对称，如图，
又∵满足条件的直线只有一对，
当直线与x轴夹角为30°时，双曲线的渐近线与x轴夹角大于30°，
双曲线与直线才能有交点A₁，A₂，B₁，B₂，
若双曲线的渐近线与x轴夹角等于30°，则无交点，
且不可能存在|A₁B₁|=|A₂B₂|，
当直线与x轴夹角为60°时，双曲线渐近线与x轴夹角小于60°，
双曲线与直线有一对交点A₁，A₂，B₁，B₂，
若双曲线的渐近线与x轴夹角等于60°，也满足题中有一对直线，
但是如果大于60°，则有两对直线．不符合题意，
∴tan30°＜$\frac{b}{a}$≤tan60°，则$\frac{1}{3}＜\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}≤3$，
∵b²=c²-a²，∴$\frac{1}{3}＜\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}≤3$，
解得e∈$（\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，2]$．
故答案为$（\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，2]$．

点评 本题考查双曲线的简单性质以及应用，考查数形结合思想和分类讨论思想，属于中档题．