Question

10．如图，F₁是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦点，A和B是以O为圆心，以|OF₁|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F₁AB是等边三角形，求椭圆的离心率．

Answer 1

分析 以O为圆心，以|OF₁|为半径的圆的方程为：x²+y²=c²．与椭圆方程联立解得x_A，即x_D．根据△F₁AB是等边三角形，可得∠AOD=60°，因此$\frac{OD}{OA}$=cos60°，解出即可得出．

解答 解：以O为圆心，以|OF₁|为半径的圆的方程为：x²+y²=c²．
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}={c}^{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，化为：c²x²=a²（2c²-a²），
解得$x=-\frac{a}{c}$$\sqrt{2{c}^{2}-{a}^{2}}$，
∵△F₁AB是等边三角形，（设AB与x轴相交于点D）．
∴∠AOD=60°．
∴$\frac{\frac{a}{c}\sqrt{2{c}^{2}-{a}^{2}}}{c}$=cos60°=$\frac{1}{2}$，
化为：e⁴-8e²+4=0，
解得e²=4-2$\sqrt{3}$，e²=4+2$\sqrt{3}$舍去．
解得e=$\sqrt{3}-1$．

点评 本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．