Question

2．已知过点P（$\frac{1}{2}$，0）的直线l与抛物线x²=y交于不同的两点A，B，点Q（0，-1），连接AQ、BQ的直线与抛物线的另一交点分别为N，M，如图所示．
（1）若$\overrightarrow{PB}$=2$\overrightarrow{PA}$，求直线l的斜率．
（2）试判断直线MN的斜率是否为定值，如果是请求出此定值，如果不是说明理由．

Answer 1

分析 （1）设直线l的方程为：x=my+$\frac{1}{2}$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+\frac{1}{2}}\\{{x}^{2}=y}\end{array}\right.$，得${m}^{2}{y}^{2}+（m-1）y+\frac{1}{4}=0$，
$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}+{y}_{2}=\frac{1-m}{{m}^{2}}}\\{{y}_{1}{y}_{2}=\frac{\frac{1}{4}}{{m}^{2}}}\\{△=1-2m＞0}\end{array}\right.$，…①，由$\overrightarrow{PB}$=2$\overrightarrow{PA}$，得y₂=2y₁…②
由①②得m即可．
（2）设PQ：y+1=$\frac{{y}_{1}+1}{{x}_{1}}x$
由$\left\{\begin{array}{l}{y+1=\frac{{y}_{1}+1}{{x}_{1}}x}\\{{x}^{2}=y}\end{array}\right.$得${x}_{1}{x}^{2}-（{y}_{1}+1）x+{x}_{1}=0$，⇒${x}_{N=\frac{1}{{x}_{1}}}，{y}_{N}={{x}_{N}}^{2}$
同理x${x}_{M}=\frac{1}{{x}_{2}}，{y}_{M}={{x}_{M}}^{2}$；
直线MN的斜率k_MN=$\frac{m（{y}_{1}+{y}_{2}）+1}{{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}+\frac{m}{2}（{y}_{1}+{y}_{2}）+\frac{1}{4}}$…③
把①代入③得k_MN

解答 解：（1）设直线l的方程为：x=my+$\frac{1}{2}$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+\frac{1}{2}}\\{{x}^{2}=y}\end{array}\right.$，得${m}^{2}{y}^{2}+（m-1）y+\frac{1}{4}=0$，
$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}+{y}_{2}=\frac{1-m}{{m}^{2}}}\\{{y}_{1}{y}_{2}=\frac{\frac{1}{4}}{{m}^{2}}}\\{△=1-2m＞0}\end{array}\right.$，…①
∵$\overrightarrow{PB}$=2$\overrightarrow{PA}$，∴y₂=2y₁…②
由①②得${y}_{1}=\frac{1-m}{3{m}^{2}}，{{y}_{1}}^{2}=\frac{1}{8{m}^{2}}$，
解得m=-8+6$\sqrt{2}$＜$\frac{1}{2}$，m=-8-6$\sqrt{2}$＜$\frac{1}{2}$，
∴直线l的斜率的斜率为：1$±\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
（2）设PQ：y+1=$\frac{{y}_{1}+1}{{x}_{1}}x$
由$\left\{\begin{array}{l}{y+1=\frac{{y}_{1}+1}{{x}_{1}}x}\\{{x}^{2}=y}\end{array}\right.$得${x}_{1}{x}^{2}-（{y}_{1}+1）x+{x}_{1}=0$，⇒${x}_{N}=\frac{1}{{x}_{1}}，{y}_{N}={{x}_{N}}^{2}$
同理x${x}_{M}=\frac{1}{{x}_{2}}，{y}_{M}={{x}_{M}}^{2}$；
直线MN的斜率k_MN=$\frac{{y}_{M}-{y}_{N}}{{x}_{M}-{x}_{N}}=\frac{{{x}_{M}}^{2}-{{x}_{N}}^{2}}{{x}_{M}-{x}_{N}}={x}_{M}+{x}_{N}$
=$\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{m（{y}_{1}+{y}_{2}）+1}{{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}+\frac{m}{2}（{y}_{1}+{y}_{2}）+\frac{1}{4}}$…③
把①代入③得k_MN=2（定值）
∴直线MN的斜率是为定值2．

点评 本题考查了直线与抛物线的位置关系，解题关键合理运用韦达定理，及方程思想，属于压轴题．