Question

设函数f（x）=e^x（sinx-cosx），若0≤x≤2011π，则函数f（x）的各极大值之和为

 

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Answer 1

分析：先求出其导函数，利用导函数得到其单调区间以及其极大值点，进而求出其极大值；再利用等比数列的求和公式求出函数f（x）的各极大值之和即可．

解答：解：因为函数f（x）=e^x（sinx-cosx），
所以：f'（x）=[e^x（sinx-cosx）]'=e^x（sinx-cosx）+e^x（cosx+sinx）=2e^xsinx．
f'（x）=0?x=kπ，
当2kπ≤x≤2kπ+π时，f'（x）＞0，原函数递增
当2kπ+π＜x≤2kπ+2π时，f'（x）＜0，原函数递减．
∴x=2kπ+π时，函数f（x）取极大值此时f（2kπ+π）=e^2kπ+π[sin（2kπ+π）-cos（2kπ+π）]=e^2kπ+π．
又∵0≤x≤2011π
∴函数f（x）的各极大值之和为：e^π+e^3π+e^5π+…+e^2011π=

eπ(1-(e2π)1006)

1-e2π

=

eπ(1-e2012π)

1-e2π

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故答案为：

eπ(1-e2012π)

1-e2π

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点评：本题主要考查利用导数研究函数的极值以及等比数列求和公式的应用．在求函数的极大值时，须注意极大值两侧导函数值是先正后负，原函数是先增后减．