Question

下列四个命题：正确命题的个数为（　　）
①若函数f（x）=ax²+bx+2与x轴没有交点，则a≠0且b²-8a＜0；
②若log_m3＜lg_n3＜0，则0＜n＜m＜1；
③对于函数f（x）=lnx的定义域中任意的x₁，x₂（x₁≠x₂）必有f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

；
④若函数f（x）=3^x-2x-3，则方程f（x）=0有2个实数根．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①由函数f（x）=ax²+bx+2与x轴没有交点，故△=b²-8a＜0或a=b=0，即可判断真假；
②根据对数函数的图象特征及关系，来判断②是否正确；
③由基本不等式得到(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

错误；
④利用函数y=3^x与y=2x+3图象交点个数，来判断方程的解的个数，根据指数函数的图象性质可判断④是否正确．

解答：解：①由若函数f（x）=ax²+bx+2与x轴没有交点，则b²-8a＜0且a＞0，或者b²-8a＜0且a＜0，或者a=b=0；所以此命题错；
②由log_m3＜log_n3＜0得

1

log3m

＜

1

log3n

＜0，即log₃n＜log₃m＜0，所以0＜n＜m＜1，所以②正确；
③f（

x1+x2

2

）-

f(x1)+f(x2)

2

=ln（

x1+x2

2

）-

lnx1+lnx2

2

=ln（

x1+x2

2

）-ln

x1 x2

；
∵x₁，x₂∈（0，+∞）（且x₁≠x₂），∴

x1+x2

2

＞

x1 x2

，
又f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴ln（

x1+x2

2

）＞ln

x1 x2

，
∴f（

x1+x2

2

）＞

f(x1)+f(x2)

2

，命题③错误；
④∵函数y=3^x与y=2x+3的图象有两个交点，∴方程f（x）=0有2个实数根，命题④正确．
故答案为：B

点评：本题借助考查命题的真假判断，主要考查二次函数、对数函数、指数函数的性质．