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已知点P是圆F1上任意一点,点F2与点F1关于原点对称.线段PF2的中垂线与PF1交于M点.
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)设轨迹C与x轴的两个左右交点分别为A,B,点K是轨迹C上异于A,B的任意一点,KH⊥x轴,H为垂足,延长HK到点Q使得HK=KQ,连接AQ延长交过B且垂直于x轴的直线l于点D,N为DB的中点.试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系.
【答案】分析:(1)先确定F1、F2的坐标,再根据线段PF2的中垂线与PF1交于M点,结合椭圆的定义,可得点M的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆,从而可得点M的轨迹C的方程;
(2)先确定Q点在以AB为直径的圆O上,再验证,即可知直线QN与圆O相切.
解答:解:(1)由题意得,(1分)
圆F1的半径为4,且|MF2|=|MP|(2分)
从而(3分)
∴点M的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆,其中长轴2a=4,焦距
则短半轴,(4分)
椭圆方程为:(5分)
(2)设K(x,y),则
∵HK=KQ,∴Q(x,2y).∴(6分)
∴Q点在以O为圆心,2为半径的圆上.即Q点在以AB为直径的圆O上.(7分)
又A(-2,0),∴直线AQ的方程为.                      (8分)
令x=2,得.                                            (9分)
又B(2,0),N为DB的中点,∴.                          (10分)
.                               (11分)

=x(x-2)+x(2-x)=0.                                          (13分)
.∴直线QN与圆O相切.(14分)
点评:本题以圆的方程为载体,考查椭圆的定义与标准方程,考查直线与圆的位置关系,解题的关键是利用椭圆的定义判断轨迹的类型,利用向量的数量积为0,判断直线QN与圆O相切.
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(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)斜率为k的直线l与曲线C交于P,Q两点,若
OP
OQ
=0
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(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)斜率为1的直线l与曲线C交于A,B两点,若
OA
OB
=0(O为坐标原点),求直线l的方程.

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3
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已知点P是圆F1上任意一点,点F2与点F1关于原点对称.线段PF2的中垂线与PF1交于M点.
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