Question

（2012•肇庆二模）已知点P是圆F₁：(x+

3

)2+y2=16上任意一点，点F₂与点F₁关于原点对称．线段PF₂的中垂线与PF₁交于M点．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）设轨迹C与x轴的两个左右交点分别为A，B，点K是轨迹C上异于A，B的任意一点，KH⊥x轴，H为垂足，延长HK到点Q使得HK=KQ，连接AQ延长交过B且垂直于x轴的直线l于点D，N为DB的中点．试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系．

Answer 1

分析：（1）先确定F₁、F₂的坐标，再根据线段PF₂的中垂线与PF₁交于M点，结合椭圆的定义，可得点M的轨迹是以F₁、F₂为焦点的椭圆，从而可得点M的轨迹C的方程；
（2）先确定Q点在以AB为直径的圆O上，再验证

OQ

•

NQ

 =0，即可知直线QN与圆O相切．

解答：解：（1）由题意得，F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)（1分）
圆F₁的半径为4，且|MF₂|=|MP|（2分）
从而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=4＞|F1F2|=2

3

（3分）
∴点M的轨迹是以F₁、F₂为焦点的椭圆，其中长轴2a=4，焦距2c=2

3

，
则短半轴b=

a2-c2

=

4-3

=1，（4分）
椭圆方程为：

x2

4

+y2=1（5分）
（2）设K（x₀，y₀），则

x02

4

+y02=1．
∵HK=KQ，∴Q（x₀，2y₀）．∴OQ=

x02+(2y02)

=2（6分）
∴Q点在以O为圆心，2为半径的圆上．即Q点在以AB为直径的圆O上．（7分）
又A（-2，0），∴直线AQ的方程为y=

2y0

x0+2

(x+2)．                      （8分）
令x=2，得D(2，

8y0

x0+2

)．                                            （9分）
又B（2，0），N为DB的中点，∴N(2，

4y0

x0+2

)．                          （10分）
∴

OQ

=(x0，2y0)，

NQ

=(x0-2，

2x0y0

x0+2

)．                               （11分）
∴

OQ

•

NQ

=x0(x0-2)+2y0•

2x0y0

x0+2

=x0(x0-2)+

4x0y02

x0+2

=x0(x0-2)+

x0(4-x02)

x0+2

=x₀（x₀-2）+x₀（2-x₀）=0．                                          （13分）
∴

OQ

⊥

NQ

．∴直线QN与圆O相切．（14分）

点评：本题以圆的方程为载体，考查椭圆的定义与标准方程，考查直线与圆的位置关系，解题的关键是利用椭圆的定义判断轨迹的类型，利用向量的数量积为0，判断直线QN与圆O相切．