Question

【题目】设函数（）.

（1）讨论函数的极值；

（2）若函数在区间上的最小值是4，求a的值.

Answer 1

【答案】（1）当时，函数在R上无极值；当时，的极小值为，无极大值.（2）

【解析】

（1）求得函数的导数，分类讨论即可求解函数的单调区间，得到答案.

（2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，此时最小值不满足题意；当时，由（1）得是函数在上的极小值点，分类讨论，即可求解.

解：（1）.

当时，，在R上单调递增；无极值

当时，，解得，

由，解得.

函数在上单调递减，函数在上单调递增，

的极小值为，无极大值

综上所述：当时，函数在R上无极值；

当时，的极小值为，无极大值.

（2）由（1）知，当时，函数在R上单调递增，

∴函数在上的最小值为，即，矛盾.

当时，由（1）得是函数在R上的极小值点.

①当即时，函数在上单调递增，

则函数的最小值为，即，符合条件.

②当即时，函数在上单调递减，

则函数的最小值为即，矛盾.

③当即时，函数在上单调递减，函数在上单调递增，

则函数的最小值为，即.

令（），则，

∴在上单调递减，

而，∴在上没有零点，

即当时，方程无解.

综上，实数a的值为.