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如图所示,已知圆M:(x+1)2+y2=8及定点N(1,0),点P是圆M上一动点,点Q为PN的中点,PM上一点G满足数学公式
(1)求点G的轨迹C的方程;
(2)已知直线l:y=kx+m与曲线C交于A、B两点,E(0,1),是否存在直线l,使得点N恰为△ABE的垂心?若存在,求出直线l的方程,若不存在,请说明理由.

解:(1)由点Q为PN的中点,GQ⊥PN可得:|GP|=|GN|,∴|GM|+|GN|=|MP|=,而M(-1,0),N(1,0),|MN|=2.
∴|GM|+|GN|>|MN|,∴点G的轨迹是以点M、N为焦点、2为长轴长的椭圆,其方程为
(2)假设存在,如图所示:
,EN⊥AB,∴kAB=1,即k=1,
∴直线l的方程为y=x+m,设A(x1,y1),B(x2,y2).
联立,消去y化为3x2+4mx+2m2-2=0,
∵直线l与椭圆C相较于不同的A、B两点,
∴△=16m2-12(2m2-2)>0,化为.(*)
由根与系数的关系可得:.(**)
=(1-x1,-y1),=(-x2,1-y2),
=x1x2-x2+y1y2-y1
∵AN⊥BE,∴x1x2-x2+y1y2-y1=0,又y1=x1+m,y2=x2+m,
∴x1x2-x2+(x1+m)(x2+m)-(x1+m)=0,化为2x1x2+(m-1)(x1+x2)+m2-m=0,
把(**)代入得,化为3m2+m-4=0,
解得m=或1.
当m=1时,点E与B重合,应舍去.
也满足(*),故
分析:(1)利用椭圆的定义即可得出;
(2)利用垂心的性质可求出直线AB的斜率,把直线AB的方程与椭圆的方程联立,利用根与系数的关系及垂心的性质即可求出直线AB的方程,进行判断即可.
点评:熟练掌握椭圆的定义、三角形垂心的性质、直线的点斜式、直线方程与椭圆的方程联立得到根与系数的关系是解题的关键.
练习册系列答案
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精英家教网如图所示,已知圆C:(x+1)2+y2=8,定点A(1,0),M为圆C上一动点,点P在线段AM上,点N在线段CM上,且满足
AM
=2
AP
NP
AM
=0
,点N的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)若过定点F(0,2)的直线交曲线E于不同的两点G、H(点G在点F、H之间),且满足
FG
FH
,求λ
的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图所示,已知圆M:(x+1)2+y2=8及定点N(1,0),点P是圆M上一动点,点Q为PN的中点,PM上一点G满足
GQ
NP
=0

(1)求点G的轨迹C的方程;
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科目:高中数学 来源: 题型:

如图所示,已知椭圆M:
y2
a2
+
x2
b2
=1
(a>b>0)的四个顶点构成边长为5的菱形,原点O到直线AB的距离为
12
5
,其A(0,a),B(-b,0).直线l:x=my+n与椭圆M相交于C,D两点,且以CD为直径的圆过椭圆的右顶点P(其中点C,D与点P不重合).
(1)求椭圆M的方程;
(2)试判断直线l与x轴是否交于定点?若是,求出定点的坐标;若不是,请说明理由.

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科目:高中数学 来源:2012-2013学年重庆市南开中学高三(上)12月月考数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

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