Question

如图所示，已知圆M：（x+1）²+y²=8及定点N（1，0），点P是圆M上一动点，点Q为PN的中点，PM上一点G满足
（1）求点G的轨迹C的方程；
（2）已知直线l：y=kx+m与曲线C交于A、B两点，E（0，1），是否存在直线l，使得点N恰为△ABE的垂心？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由点Q为PN的中点，GQ⊥PN可得：|GP|=|GN|，∴|GM|+|GN|=|MP|=，而M（-1，0），N（1，0），|MN|=2．
∴|GM|+|GN|＞|MN|，∴点G的轨迹是以点M、N为焦点、2为长轴长的椭圆，其方程为．
（2）假设存在，如图所示：
∵，EN⊥AB，∴k_AB=1，即k=1，
∴直线l的方程为y=x+m，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立，消去y化为3x²+4mx+2m²-2=0，
∵直线l与椭圆C相较于不同的A、B两点，
∴△=16m²-12（2m²-2）＞0，化为．（*）
由根与系数的关系可得：，．（**）
∵=（1-x₁，-y₁），=（-x₂，1-y₂），
∴=x₁x₂-x₂+y₁y₂-y₁，
∵AN⊥BE，∴x₁x₂-x₂+y₁y₂-y₁=0，又y₁=x₁+m，y₂=x₂+m，
∴x₁x₂-x₂+（x₁+m）（x₂+m）-（x₁+m）=0，化为2x₁x₂+（m-1）（x₁+x₂）+m²-m=0，
把（**）代入得，化为3m²+m-4=0，
解得m=或1．
当m=1时，点E与B重合，应舍去．
又也满足（*），故．
分析：（1）利用椭圆的定义即可得出；
（2）利用垂心的性质可求出直线AB的斜率，把直线AB的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系及垂心的性质即可求出直线AB的方程，进行判断即可．
点评：熟练掌握椭圆的定义、三角形垂心的性质、直线的点斜式、直线方程与椭圆的方程联立得到根与系数的关系是解题的关键．