Question

如图所示，已知椭圆M：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的四个顶点构成边长为5的菱形，原点O到直线AB的距离为

12

5

，其A（0，a），B（-b，0）．直线l：x=my+n与椭圆M相交于C，D两点，且以CD为直径的圆过椭圆的右顶点P（其中点C，D与点P不重合）．
（1）求椭圆M的方程；
（2）试判断直线l与x轴是否交于定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由截距式可得直线AB的方程，由点O到直线AB的距离为

12

5

可得

|ab|

a2+b2

=

12

5

①，由四个顶点构成菱形可得a²+b²=25②，联立①②解得a，b；
（2）设C（x₁，y₁）D（x₂，y₂），将x=my+n代入椭圆方程消掉x可得y的二次方程，由于以CD为直径的圆过椭圆的右顶点P，则可得

PC

•

PD

=0，根据向量数量积运算及韦达定理可得m，n的方程，由此可求出n，然后代入直线方程，可求得定点；

解答：解：（1）直线AB的方程为

x

-b

+

y

a

=1，即ax-by+ab=0，
∴原点O到直线AB的距离为

|ab|

a2+b2

=

12

5

①，
由四个顶点构成菱形可得a²+b²=25②，
联立①②解得a=4，b=3，
∴椭圆M的方程为

y2

16

+

x2

9

=1；
（2）由（1）知P（3，0），设C（x₁，y₁）D（x₂，y₂），
将x=my+n代入椭圆方程，整理得：（9+16m²）y²+32mny+16n²-144=0，
∴y₁+y₂=-

32mn

9+16m2

，y₁y₂=

16n2-144

9+16m2

，
∴x₁x₂=（my₁+n）（my₂+n）=m²y₁y₂+mn（y₁+y₂）+n²=m²•

16n2-144

9+16m2

+mn•（-

32mn

9+16m2

）+n²=

9n2-144m2

9+16m2

，
x₁+x₂=（my₁+n）+（my₂+n）=m（y₁+y₂）+2n=-

32m2n

9+16m2

+2n=

18n

9+16m2

，
∵以CD为直径的圆过椭圆的右顶点P，∴

PC

•

PD

=0，即（x₁-3，y₁）•（x₂-3，y₂）=0，
∴y₁y₂+x₁x₂-3（x₁+x₂）+9=0，
∴

16n2-144

9+16m2

+

9n2-144m2

9+16m2

-3×

18n

9+16m2

+9=0，解得n=3或n=-

21

25

，
当n=3时直线x=my+3过P（3，0），此时不合题意；当n=-

21

25

时，x=my-

21

25

，过定点（-

21

25

，0），
故直线l与x轴交于定点（-

21

25

，0）．

点评：本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、向量的数量积运算等知识，考查学生的运算能力，运算量大，能力要求高．