Question

已知函数的导数为实数，.

（Ⅰ）若在区间上的最小值、最大值分别为、1，求、的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求经过点且与曲线相切的直线的方程；

Answer 1

解：由已知得，

由，得，．

∵，，

∴ 当时，，递增；

当时，，递减．

∴ 在区间上的最大值为，∴．

又，，

∴ ．

由题意得，即，得．

故，为所求．　　　　　

（Ⅱ）解：由（1）得，，点在曲线上．

⑴ 当切点为时，切线的斜率，

∴ 的方程为，即．

⑵当切点不是切点时，设切点为，切线的斜率，

∴ 的方程为 ．

又点在上，∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，即，∴． ∴ 切线的方程为．

故所求切线的方程为或．　　　

（ 或者：由（1）知点A（0，1）为极大值点，所以曲线的点A处的切线为，恰好经过点，符合题意．）