Question

已知函数的导数为实数，.

（Ⅰ）若在区间上的最小值、最大值分别为、1，求、的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求经过点且与曲线相切的直线的方程；

（Ⅲ）设函数，试判断函数的极值点个数．

Answer 1

（Ⅰ）， 

      （Ⅱ）切线的方程为或．

      （Ⅲ）函数有两个极值点

解析:

（Ⅰ）由已知得，, 由，得，．

∵，，∴ 当时，，递增；当时，， 递减．∴ 在区间上的最大值为，∴．

又，，∴ ．

由题意得，即，得． 故，为所求．                       

（Ⅱ）解：由（1）得，，点在曲线上．

⑴ 当切点为时，切线的斜率，

∴ 的方程为，即．

⑵当切点不是切点时，设切点为，切线的斜率，

∴ 的方程为 ．又点在上，∴ ，

∴ ，∴ ，

∴ ，即，∴． ∴ 切线的方程为．

故所求切线的方程为或．

（Ⅲ）解： ．

∴ ．  

二次函数的判别式为

，令，

得：令，得  

∵，，∴当时，，函数为单调递增，极值点个数为0；

当时，此时方程有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，

可知函数有两个极值点．