Question

（2013•松江区一模）对于双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1，(a＞0，b＞0)，定义C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1，为其伴随曲线，记双曲线C的左、右顶点为A、B．
（1）当a＞b时，记双曲线C的半焦距为c，其伴随椭圆C₁的半焦距为c₁，若c=2c₁，求双曲线C的渐近线方程；
（2）若双曲线C的方程为x²-y²=1，过点M(-

3

，0)且与C的伴随曲线相切的直线l交曲线C于N₁、N₂两点，求△ON₁N₂的面积（O为坐标原点）
（3）若双曲线C的方程为

x2

4

-

y2

2

=1，弦PQ⊥x轴，记直线PA与直线QB的交点为M，求动点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）利用双曲线的a、b、c的关系及椭圆的a、b、c₁的关系及双曲线的渐近线的方程即可得出；
（2）根据直线与圆相切的性质即可求出切线的斜率，利用两点间的距离公式即可求出弦长|N₁N₂|，进而即可求出面积；
（3）设出点P、Q的坐标，利用点斜式得出直线PA、QB的方程，联立即可得出交点M的坐标，反解出点P的坐标，利用代点法即可求出轨迹．

解答：解：（1）∵c=

a2+b2

，c1=

a2-b2

，
由c=2c₁，得

a2+b2

=2

a2-b2

，即a²+b²=4（a²-b²）
可得  

b2

a2

=

3

5

，
∴C的渐近线方程为y=±

15

5

x．
（2）双曲线C的伴随曲线的方程为x²+y²=1，设直线l的方程为y=k(x+

3

)，
由l与圆相切知

| 3 k|

1+k2

=1即  3k²=1+k²
解得k=±

2

2

，
当k=

2

2

时，设N₁、N₂的坐标分别为N₁（x₁，y₁）、N₂（x₂，y₂）
由

y= 2 2 (x+ 3 ) x2-y2=1

得x2-

1

2

(x+

3

)2=1，即x2-2

3

x-5=0，
∵△=(2

3

)2-4•(-5)=32＞0，x1+x2=2

3

，x₁x₂=-5．
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(2 3 )2-4×(-5)

=4

2

．
∴|N1N2|=

1+( 2 2 )2

|x1-x2|=

3

2

×4

2

=4

3

，
∴S△ON1N2=

1

2

×|N1N2|×1=2

3

；
由对称性知，当k=-

2

2

时，也有S△ON1N2=2

3

．
（3）设P（x₀，y₀），则Q（x₀，-y₀），又A（-2，0）、B（2，0），
∴直线PA的方程为y=

y0

x0+2

(x+2)…①
直线QB的方程为y=

-y0

x0-2

(x-2)…②
由①②得

x0= 4 x y0= 2y x

∵P（x₀，y₀）在双曲线

x2

4

-

y2

2

=1上，
∴

42 x2

4

-

4y2 x2

2

=1，∴

x2

4

+

y2

2

=1．
因此动点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，其方程为

x2

4

+

y2

2

=1．

点评：熟练掌握圆锥曲线的定义与性质及直线与圆锥曲线的相交、相切问题的解题模式及弦长公式、点到直线的距离公式是解题的关键．