Question

已知函数f（x）=sin

x

2

-

3

cos

x

2

．
（1）求函数f（x）的周期，最大值和单调递减区间；
（2）若f（x）=（2-

3

）cos

x

2

，求tanx；
（3）在（2）的条件下，求

sin( 3π 2 +2x)

2 cos( π 4 +x)sin(π+x)

的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,运用诱导公式化简求值,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）先利用两角和公式对函数解析式化简，根据周期公式求得最小正周期，根据三角函数图象与性质求得函数的最大值和单调增区间．
（2）根据f（x）的解析式，和已知条件建立等式求得tan

x

2

的值，进而根据二倍角公式求得tanx的值．
（3）利用tanx的值，分别求得sinxcosx，sin²x和cos2x的值，对原式利用诱导公式和两角和公式化简整理代入即可．

解答： 解：（1）f（x）=sin

x

2

-

3

cos

x

2

=2（

1

2

sin

x

2

-

3

2

cos

x

2

）=2sin（

x

2

-

π

3

），
∴T=

2π

1 2

=4π，f（x）_max=2×1=2，
当2kπ+

π

2

≤

x

2

-

π

3

≤2kπ+

3π

2

时，4kπ+

5π

3

≤x≤4kπ+

11π

3

，k∈Z，
即函数的单调减区间为[4kπ+

5π

3

，4kπ+

11π

3

]（k∈Z）．
（2）f（x）=（2-

3

）cos

x

2

=2sin（

x

2

-

π

3

），
∴sin

x

2

=2cos

x

2

，
∴tan

x

2

=2，
∴tanx=

2tan x 2

1-tan2 x 2

=

2×2

1-4

=-

4

3

（3）∵tanx=-

4

3

，
∴sinxcosx=-

3

5

×

4

5

=-

12

25

，sin²x=(±

4

5

)2=

16

25

，cos2x=1-2sin²x=1-

32

25

=-

7

25

．
∴

sin( 3π 2 +2x)

2 cos( π 4 +x)sin(π+x)

=

-cos2x

- 2 sinx( 2 2 cosx- 2 2 sinx)

=

-cos2x

-sinxcosx+sin2x

=

- 7 25

12 25 + 16 25

=-

1

4

．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，诱导公式的应用，三角函数图象与性质．考查了对学生基础知识的综合运用．