Question

已知A=

2

-1，B=

3

-

2

，C=

4

-

3

（Ⅰ）试分别比较A与B、B与C的大小（只要写出结果，不要求证明过程）；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的比较结果，请推测出

k

-

k-1

与

k+1

-

k

（k≥2，k∈N^*）的大小，并加以证明．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）利用A=

2

-1，B=

3

-

2

，C=

4

-

3

，可比较A与B、B与C的大小（只要写出结果，不要求证明过程）；
（Ⅱ） 推测结果为

k

-

k-1

＞

k+1

-

k

．利用求差法、综合法、分析法进行证明．

解答： 解：（Ⅰ） A＞B …（3分）   B＞C…（6分）
（Ⅱ） 推测结果为

k

-

k-1

＞

k+1

-

k

．证明如下：
法一（求差法）：∵（

k

-

k-1

）-（

k+1

-

k

）=2

k

-(

k-1

+

k+1

)…（9分）
又∵(2

k

)2-(

k-1

+

k+1

)2=2k-2

k-1

•

k+1

…（10分）=(

k+1

-

k-1

)2＞0…（11分）
∴

k

-

k-1

＞

k+1

-

k

（k≥2，k∈N^*）…（12分）
法二（综合法）：∵

k+1

+

k

＞

k

+

k-1

＞0（k≥2，k∈N^*）…（8分）
∴

1

k + k-1

＞

1

k+1 + k

…（9分）
又∵

k

-

k-1

=

1

k + k-1

，

k+1

-

k

=

1

k+1 + k

…（11分）
∴

k

-

k-1

＞

k+1

-

k

（k≥2，k∈N^*）…（12分）
法三（分析法）：欲证

k

-

k-1

＞

k+1

-

k

只需证

( k - k-1 )( k + k-1 )

k + k-1

＞

( k+1 - k )( k+! + k )

k+1 + k

…（8分）
即证

1

k + k-1

＞

1

k+1 + k

只需证

k+1

+

k

＞

k

+

k-1

＞0即证

k+1

＞

k-1

…（10分）
只需证k+1＞k-1即证1＞-11＞-1显然成立，故原命题成立即

k

-

k-1

＞

k+1

-

k

（k≥2，k∈N^*）…（12分）

点评：本题考查大小比较，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．