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    已知数列{an}满足an=3n-1，求证：
    n
    3
    -
    1
    6
    ＜
    a1
    a2
    +
    a2
    a3
    +…+
    an
    an+1
    ＜
    n
    3
    ．
    考点：数列的求和
    专题：等差数列与等比数列
    分析：由已知条件得
    a1
    a2
    +
    a2
    a3
    +…+
    an
    an+1
    =
    2
    8
    +
    8
    26
    +…+
    3n-1
    3n+1-1
    ＜
    3
    9
    +
    9
    27
    +…+
    3n
    3n+1
    =
    n
    3
    ；
    a1
    a2
    +
    a2
    a3
    +…+
    an
    an+1
    =
    2
    8
    +
    8
    26
    +…+
    3n-1
    3n+1-1
    ＞
    2
    9
    +
    8
    27
    +…+
    3n-1
    3n+1
    ，由此能证明
    n
    3
    -
    1
    6
    ＜
    a1
    a2
    +
    a2
    a3
    +…+
    an
    an+1
    ＜
    n
    3
    ．
    解答： 解：∵数列{an}满足an=3n-1，
    ∴
    a1
    a2
    +
    a2
    a3
    +…+
    an
    an+1
    =
    2
    8
    +
    8
    26
    +…+
    3n-1
    3n+1-1

    ＜
    3
    9
    +
    9
    27
    +…+
    3n
    3n+1
    =
    n
    3
    ，
    a1
    a2
    +
    a2
    a3
    +…+
    an
    an+1
    =
    2
    8
    +
    8
    26
    +…+
    3n-1
    3n+1-1

    ＞
    2
    9
    +
    8
    27
    +…+
    3n-1
    3n+1

    =
    3-1
    9
    +
    9-1
    27
    +…+
    3n-1
    3n+1

    =（
    3
    9
    +
    9
    27
    +…+
    3n
    3n+1
    ）-（
    1
    32
    +
    1
    33
    +…+
    1
    3n+1
    ）
    =
    n
    3
    -
    1
    9
    (1-
    1
    3n
    )
    1-
    1
    3

    =
    n
    3
    -
    1
    6
    (1-
    1
    3n
    )
    ＞
    n
    3
    -
    1
    6
    ．
    ∴
    n
    3
    -
    1
    6
    ＜
    a1
    a2
    +
    a2
    a3
    +…+
    an
    an+1
    ＜
    n
    3
    ．
    点评：本题考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意放缩法的合理运用．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    点P是△ABC所在平面外一点，PA、PB、PC两两垂直，且PO⊥平面ABC于点O，则O是△ABC的（　　）
    A、外心B、内心C、垂心D、重心

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=
    ax+b
    x
    ex，a，b∈R，且a＞0．
    （1）若a=2，b=1，求函数f（x）的极值；
    （2）设g（x）=a（x-1）ex-f（x）．当a=1时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）≥1成立，求b的最大值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    为了调查某大学学生在周日上网的时间，随机对100名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查．得到了如下的统计结果；
    表1：男生上网时间与频数分布表
    上网时间（分钟） [30，40） [40，50） [50，60） [60，70） [70，80]
    人 数 5 25 30 25 15
    表2：女生上网时间与频数分布表
    上网时间 （分钟） [30，40） [40，50） [50，60） [60，70） [70，80]
    人数 10 20 40 20 10
    （1）若该大学共有女生750人，试估计其中上网时间不少于60分钟的人数；
    （2）完成下面的2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“大学生周日上网时间与性别有关”？
    表3
    上网时间少于60分钟 上网时间不少于60分钟 合计
    男生
    女生
    合计
    附：K2=
    n(ad-bc)2
    (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

    P（K2≥k0） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
    k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.83

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知圆C的圆心C在x轴的正半轴，半径为5，圆C被直线x-y+3=0截得的弦长为2
    		17
    ．
    （1）求圆C的方程；
    （2）设直线l：ax-y+5=0（a∈R）．
    ①若圆C关于直线l对称，求a的值；
    ②若直线l与圆C相交于A、B两点，求实数a的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在△ABC中，sinA+sinC=2sinB，求证：tan
    A
    2
    tan
    C
    2
    =
    1
    3
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知A=
    		2
    -1，B=
    		3
    -
    		2
    ，C=
    		4
    -
    		3

    （Ⅰ）试分别比较A与B、B与C的大小（只要写出结果，不要求证明过程）；
    （Ⅱ）根据（Ⅰ）的比较结果，请推测出
    		k
    -
    		k-1
    与
    		k+1
    -
    		k
    （k≥2，k∈N*）的大小，并加以证明．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=lnx-ax+
    1-a
    x
    -1（a∈R）．
    （1）当y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程是y=x+ln2时，求a的值．
    （2）当y=f（x）的单调递增区间是（1，5）时，求a的取值集合．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设向量
    a
    =（
    		3
    sinx，sinx），
    b
    =（cosx，sinx），x∈[0，
    π
    2
    ]
    （1）若|
    a
    |=|
    b
    |，求x的值；
    （2）设函数f（x）=
    a
    •
    b
    ，求f（x）的最大值，并指出对应x的值．

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