Question

已知圆C的圆心C在x轴的正半轴，半径为5，圆C被直线x-y+3=0截得的弦长为2

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．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线l：ax-y+5=0（a∈R）．
①若圆C关于直线l对称，求a的值；
②若直线l与圆C相交于A、B两点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）利用圆C被直线x-y+3=0截得的弦长为2

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，结合勾股定理建立方程，可求圆C的方程；
（2）①由题意直线l过圆心（1，0），可求a的值；
②若直线l与圆C相交于A、B两点，则圆心到直线的距离小于半径，建立不等式，即可求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）设C：（x-m）²+y²=25（m＞0），则
∵圆C被直线x-y+3=0截得的弦长为2

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，
∴

|m+3|

2

=

25-17

，
∴m=1，
∴C：（x-1）²+y²=25…（5分）
（2）①由题意直线l过圆心（1，0），∴a+5=0，即a=-5．…（10分）
②∵直线l与圆C相交于A、B两点，
∴

|a+5|

a2+1

＜5，
∴12a²-5a＞0，
∴a＜0或a＞

5

12

…（16分）

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的方程，考查学生的计算能力，属于中档题．