Question

已知函数f（x）=

ax+b

x

e^x，a，b∈R，且a＞0．
（1）若a=2，b=1，求函数f（x）的极值；
（2）设g（x）=a（x-1）e^x-f（x）．当a=1时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）≥1成立，求b的最大值．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）a=2，b=1时求出f′（x）=0的根，根据导数的符号变化规律可求得极值点，进而得到极值；
（2）a=1时，g（x）≥1可化为b≤x2-2x-

x

ex

，记h（x）=x2-2x-

x

ex

（x＞0），从而问题转化为b≤h（x）_min，利用导数即可求得最小值；

解答： 解：（1）当a=2，b=1时，f（x）=

2x+1

x

•ex，定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）．
∴f′（x）=-

1

x2

•ex+

2x+1

x

•ex=

(2x-1)(x+1)

x2

•ex．
令f′（x）=0，得x=-1或

1

2

，
由f′（x）＞0，得x＜-1或x＞

1

2

；由f′（x）＜0，得-1＜x＜0或0＜x＜

1

2

．
∴x=-1时f（x）取得极大值f（-1）=

1

e

，x=

1

2

时f（x）取得极小值f（

1

2

）=4

e

；
（2）∵g（x）=a（x-1）e^x-f（x）=（ax-

b

x

-2a）e^x，
当a=1时，g（x）=（x-

b

x

-2）e^x，
∵g（x）≥1在（0，+∞）上恒成立，
∴b≤x2-2x-

x

ex

在（0，+∞）上恒成立，
记h（x）=x2-2x-

x

ex

（x＞0），则h′（x）=

(x-1)(2ex+1)

ex

，
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上是减函数；
当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）上是增函数．
∴h（x）_min=h（1）=-1-

1

e

．
∴b≤-1-

1

e

，即b的最大值为-1-

1

e

．

点评：该题考查利用导数研究函数的极值、最值，考查函数恒成立，考查转化思想，恒成立问题往往转化为函数最值解决．