Question

19．利用正弦函数图象解下列不等式：
（1）sinx≥$\frac{1}{2}$；
（2）sinx≤$\frac{1}{2}$；
（3）sin（x+$\frac{π}{6}$）≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（4）sin（x+$\frac{π}{6}$）≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 画出正弦函数图象，数形结合可得答案．

解答 解：作出函数y=sinx的图象，如图所示：

由图可得：（1）sinx≥$\frac{1}{2}$时，x∈[$\frac{π}{6}$+2kπ，$\frac{5π}{6}$+2kπ]，k∈Z，即原不等式的解集为[$\frac{π}{6}$+2kπ，$\frac{5π}{6}$+2kπ]，k∈Z；
（2）sinx≤$\frac{1}{2}$时，x∈[$\frac{5π}{6}$+2kπ，$\frac{13π}{6}$+2kπ]，k∈Z，即原不等式的解集为[$\frac{5π}{6}$+2kπ，$\frac{13π}{6}$+2kπ]，k∈Z；
（3）sin（x+$\frac{π}{6}$）≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$+2kπ，$\frac{2π}{3}$+2kπ]，k∈Z，即x∈[$\frac{π}{6}$+2kπ，$\frac{π}{2}$+2kπ]，k∈Z，即原不等式的解集为[$\frac{π}{6}$+2kπ，$\frac{π}{2}$+2kπ]，k∈Z；
（4）sin（x+$\frac{π}{6}$）≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{2π}{3}$+2kπ，$\frac{7π}{3}$+2kπ]，k∈Z，即x∈[$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{13π}{6}$+2kπ]，k∈Z，即原不等式的解集为[$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{13π}{6}$+2kπ]，k∈Z；

点评 本题考查的知识点是正弦函数的图象，三角不等式的解法，难度中档．