Question

11．已知函数f（x）=$\sqrt{2}$sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在区间（0，π）上的单调区间；
（3）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，函数g（x）=f（x）-k恰有两个零点，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接根据函数图象求函数解析式；
（2）结合正弦函数图象得到单调区间；
（3）数形结合确定零点的条件．

解答 解：（1）根据图形可知，$\frac{3}{4}$T=$\frac{5π}{12}$-（-$\frac{π}{3}$）=$\frac{3π}{4}$，所以T=π，
因此，ω=2，f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+φ），
且当x=$\frac{5π}{12}$时，函数取得最大值，
即sin（2×$\frac{5π}{12}$+φ）=1，即sin（$\frac{5π}{6}$+φ）=1，
且|φ|＜$\frac{π}{2}$，所以，φ=-$\frac{π}{3}$，f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）；
（2）当x∈（0，π）时，2x-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{3}$），
令2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，解得x=$\frac{5π}{12}$，令2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{3π}{2}$，解得x=$\frac{11π}{12}$，
所以函数f（x）在（0，π）上的单调区间为：
（0，$\frac{5π}{12}$）单调递增，（$\frac{5π}{12}$，$\frac{11π}{12}$）单调递减，（$\frac{11π}{12}$，π）单调递增；
（3）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
此时，f（x）先增后减，在x=$\frac{5π}{12}$处取得最大值，
要使f（x）-k=0有两个零点，结合正弦图象可知，
k∈[f（$\frac{π}{2}$），f（$\frac{5π}{12}$）），即k∈[$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\sqrt{2}$）．

点评 本题主要考查了三角函数的图象与性质，涉及单调性，单调区间和最值，以及函数零点的确定，属于中档题．