Question

给定椭圆＞b＞0)，称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F(，0)，其短轴上的一个端点到F的距离为．

(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程；

(2)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线l₁l₂，使得l₁l₂与椭圆C都只有一个交点．求证：l₁⊥l₂．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)因为，所以　　2分 　　所以椭圆的方程为，准圆的方程为　　4分 　　(2)①当中有一条无斜率时，不妨设无斜率， 　　因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为或， 　　当方程为时，此时与准圆交于点 　　此时经过点(或且与椭圆只有一个公共点的直线是 　　(或，即为(或，显然直线垂直； 　　同理可证方程为时，直线垂直　　7分 　　②当都有斜率时，设点其中， 　　设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为， 　　则，消去得到， 　　即， 　　， 　　经过化简得到：　　9分 　　因为，所以有， 　　设的斜率分别为，因为与椭圆都只有一个公共点， 　　所以满足上述方程， 　　所以，即垂直　　13分