Question

 (21) （本小题满分12分）

已知函数的图象过点（-1，-6），且函数的图象关于y轴对称.

(Ⅰ)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间；

(Ⅱ)若a＞0，求函数y=f(x)在区间（a-1,a+1）内的极值.

Answer 1

（1）m=-3, n=0. f(x)的单调递增区间是（－∞，0），（2，＋∞）；f(x)的单调递减区间是（0，2）（2）当0<a<1时，f(x)有极大值－2，无极小值，当1<a<3时，f(x)有极小值－6，无极大值；当a=1或a≥3时，f(x)无极值.

解析:

（1）由函数f(x)图象过点（－1，－6），得m-n=-3, ……①

由f(x)=x³+mx²+nx-2，得f′（x）=3x²+2mx+n,

则g(x)=f′(x)+6x=3x²+(2m+6)x+n;

而g(x)图象关于y轴对称，所以－＝0，所以m=-3,

代入①得n=0.

于是f′(x)＝3x²-6x=3x(x-2).

由f′(x)>得x>2或x<0,

故f(x)的单调递增区间是（－∞，0），（2，＋∞）；

由f′(x)<0得0<x<2,

故f(x)的单调递减区间是（0，2）.

(Ⅱ)由（Ⅰ）得f′(x)＝3x(x-2),

令f′(x)＝0得x=0或x=2.

当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：

X	(-∞.0)	0	(0,2)	2	(2,+ ∞)
f′(x)	+	0	－	0	＋
f(x)		极大值		极小值

由此可得：

当0<a<1时，f(x)在（a-1,a+1）内有极大值f(O)=-2,无极小值；

当a=1时，f(x)在（a-1,a+1）内无极值；

当1<a<3时，f(x)在（a-1,a+1）内有极小值f(2)＝－6，无极大值；

当a≥3时，f(x)在（a-1,a+1）内无极值.

综上得：当0<a<1时，f(x)有极大值－2，无极小值，当1<a<3时，f(x)有极小值－6，无极大值；当a=1或a≥3时，f(x)无极值.