Question

（本小题满分12分）

已知点，过点作抛物线的切线，切点在第二象限，如图．

（Ⅰ）求切点的纵坐标；

（Ⅱ）若离心率为的椭圆  恰好经过切点，设切线交椭圆的另一点为，记切线的斜率分别为，若，求椭圆方程．

21（本小题满分12分）

已知函数 _.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；

（3）证明：.

22．选修4－1：几何证明选讲

如图，是圆的直径，是弦，的平分线交圆于点，，交的延长线于点，交于点。

（1）求证：是圆的切线；

（2）若，求的值。

23.选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，直线过点且倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于两点；

（1）若，求直线的倾斜角的取值范围；

（2）求弦最短时直线的参数方程。

24． 选修4-5 不等式选讲

已知函数

   （I）试求的值域；

   （II）设，若对，恒有成立，试求实数a的取值范围。

Answer 1

解：(Ⅰ)设切点，且，

由切线的斜率为，得的方程为，又点在上，

，即点的纵坐标．

(Ⅱ)由(Ⅰ) 得，切线斜率，

设，切线方程为，由，得，所以椭圆方程为，且过，

由，

，

将，代入得：，所以，

椭圆方程为．

21、解：（1）的定义域为（0，+∞），

当时，＞0，故在（0，+∞）单调递增；

当时，＜0，故在（0，+∞）单调递减；

当-1＜＜0时，令=0，解得.

则当时，＞0；时，＜0.

故在单调递增，在单调递减

（2）因为，所以

当时，恒成立

令，则,            

因为，由得，

且当时，；当时，.

所以在上递增，在上递减.所以，故 

（3）由（2）知当时，有，当时，即，

令，则，即   

所以，，…，，

相加得

而

所以，

22．选修4－1：几何证明选讲

22.（1）连接，可得，

∴，又，∴，

又为半径，∴是圆的切线

（2）过作于点，连接，

则有，

。

设，则，∴，

由可得，

又由，可得。

23.选修4—4：坐标系与参数方程

（1）∵曲线的极坐标方程为  

 ∴曲线的直角方程为

设圆心到直线的距离为    ∵    ∴

当直线斜率不存在时，，不成立

当直线斜率存在时，设    ∴  

 ∴————5分  ∴直线倾斜角的取值范围是

（2）要使弦最短，只需，∴直线的倾斜角为，

∴直线的参数方程为（为参数）

24． 选修4-5 不等式选讲

解：（I），。

（II）若，当且仅当时取得等号。再由（I）知的最大值为3.

     若对，恒有成立，即

，解之得，

故实数a的取值范围是