Question

【题目】(本小题满分15分)

在等差数列{an}中，a1=1，公差d≠0，且a1，a2，a5是等比数列{bn}的前三项．

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；

(2)设cn=an·bn，求数列{cn}的前n项和Sn．

Answer 1

【答案】（1）bn=3n－1；（2）（2）Sn=(n－1)·3n+1

【解析】本试题主要是考查了数列的概念，和数列的求和，尤其是等差数列和等比数列的性质的运用，以及利用错位相减法求解数列的和的思想的综合运用。

（1）根据已知的项之间的关系式，运用基本元素表示得到数列的通项公式的求解

（2）结合第一问中的结论，得到cn=an·bn=(2n－1)·3n－1，的通项公式，分析通项公式的特点，选择错位相减法求解数列的和。

解: (1)由a1，a2，a5是等比数列{bn}的前三项得，

a22= a1·a5(a1+d)2=a1· (a1+4d) 2分

a12+2a1d+ d2 = a12+4a1dd2 =2a1d，又d≠0，所以d=2a1=2，

从而an= a1+(n－1) d=2n－1， 5分

则b1= a1=1，b2= a2=3，

则等比数列{bn}的公比q=3，从而bn=3n－1． 7分

(2)由(1)得，cn=an·bn=(2n－1)·3n－1， 8分

则Sn= 1·1+3·3+5·32+7·33+…+(2n－1)·3n－1 ①

3Sn= 1·3+3·32+5·33+…+(2n－3)·3n－1+(2n－1)·3n ② 10分

①－②得， －2Sn= 1·1+2·3+2·32+2·33+…+2·3n－1－(2n－1)·3n

=1+2×－(2n－1)·3n=－2 (n－1)·3n－2 13分

则Sn=(n－1)·3n+1． 15分