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已知集合A={x|log2(x-1)<1},集合B={x|x2-ax+b<0,a,b∈R}.
(1)若A=B,求a,b的值;
(2)若b=3,且A∪B=A,求a的取值范围.
分析:(1)先化简集合A,再利用A=B,从而将问题转化为x2-ax+b=0的两根分别为1和3,利用韦达定理可求;
(2)由A∪B=A知,B⊆A,再分B是空集与非空集合讨论,进而求并集即可.
解答:解:(1)由log2(x-1)<1得0<x-1<2,所以集合A={x|1<x<3}.                  (2')
由A=B知,x2-ax+b<0的解集为{x|1<x<3},所以方程x2-ax+b=0的两根分别为1和3.
由韦达定理可知,
a=1+3
b=1×3
,解得a=4,b=3,即为所求.                      (4')
(2)由A∪B=A知,B⊆A.                                           (5')
①当B=∅时,有△=a2-12≤0,解得-2
3
≤a≤2
3
;                         (7')
②当B≠∅时,设函数f(x)=x2-ax+3,其图象的对称轴为x=
a
2
,则
△=a2-12>0
f(1)=4-a≥0
f(3)=12-3a≥0
1<
a
2
<3

解得2
3
<a≤4
.                             (11')
综上①②可知,实数a的取值范围是[-2
3
,4].                            (12')
点评:本题以集合为载体,考查集合之间的关系,考查分类讨论的数学思想,属于中档题.
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