Question

若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列，则称这个数列为调和数列．已知数列{a_n}是调和数列，对于各项都是正数的数列{x_n}，满足xnan=xn+1an+1=xn+2an+2（n∈N^*）．
（Ⅰ）证明数列{x_n}是等比数列；
（Ⅱ）把数列{x_n}中所有项按如图所示的规律排成一个三角形数表，当x₃=8，x₇=128时，求第m行各数的和；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的数列{x_n}，证明：

n

2

-

1

3

＜

x1-1

x2-1

+

x2-1

x3-1

+…+

xn-1

xn+1-1

＜

n

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设条件知a_nlgx_n=a_n+1lgx_n+1=a_n+2lgx_n+2．设a_nlgx_n=a_n+1lgx_n+1=a_n+2lgx_n+2=p，有

2p

an+1

=

p

an

+

p

an+2

，由此导出x_n+1²=x_nx_n+2，所以数列{x_n}是等比数列．
（Ⅱ）由题意知{x_n}的公比为q=2．x_n=x₃q^n-3=8×2^n-3=2ⁿ．由此能够推导出第m行各数的和为Sm=

2 m2-m+2 2 (2m-1)

2-1

=2

m2-m+2

2

(2m-1)．
（Ⅲ）由x_n=2ⁿ，知

xk-1

xk+1-1

=

2k-1

2k+1-1

=

2k-1

2(2k- 1 2 )

＜

1

2

．所以

x1-1

x2-1

+

x2-1

x3-1

++

xn-1

xn+1-1

＜

1

2

+

1

2

++

1

2

=

n

2

．
由此入手能够导出

n

2

-

1

3

＜

x1-1

x2-1

+

x2-1

x3-1

++

xn-1

xn+1-1

＜

n

2

．

解答：解：（Ⅰ）证明：因为

x

an n

=

x

an+1 n+1

=

x

an+2 n+2

，且数列{x_n}中各项都是正数，
所以a_nlgx_n=a_n+1lgx_n+1=a_n+2lgx_n+2．
设a_nlgx_n=a_n+1lgx_n+1=a_n+2lgx_n+2=p，①
因为数列{a_n}是调和数列，故a_n≠0，

2

an+1

=

1

an

+

1

an+2

．
所以，

2p

an+1

=

p

an

+

p

an+2

．②
由①得

p

an

=lgxn，

p

an+1

=lgxn+1，

p

an+2

=lgxn+2，代入②式得，
所以2lgx_n+1=lgx_n+lgx_n+2，即lgx_n+1²=lg（x_nx_n+2）．
故x_n+1²=x_nx_n+2，所以数列{x_n}是等比数列．（5分）
（Ⅱ）设{x_n}的公比为q，则x₃q⁴=x₇，即8q⁴=128．由于x_n＞0，故q=2．
于是x_n=x₃q^n-3=8×2^n-3=2ⁿ．
注意到第n（n=1，2，3，）行共有n个数，
所以三角形数表中第1行至第m-1行共含有1+2+3++(m-1)=

m(m-1)

2

个数．
因此第m行第1个数是数列{x_n}中的第

m(m-1)

2

+1=

m2-m+2

2

项．
故第m行第1个数是x

m2-m+2

2

=2

m2-m+2

2

，
所以第m行各数的和为Sm=

2 m2-m+2 2 (2m-1)

2-1

=2

m2-m+2

2

(2m-1)．（9分）
（Ⅲ）因为x_n=2ⁿ，所以

xk-1

xk+1-1

=

2k-1

2k+1-1

=

2k-1

2(2k- 1 2 )

＜

1

2

．
所以

x1-1

x2-1

+

x2-1

x3-1

++

xn-1

xn+1-1

＜

1

2

+

1

2

++

1

2

=

n

2

．
又

xk-1

xk+1-1

=

2k-1

2k+1-1

=

1

2

-

1

2(2k+1-1)

=

1

2

-

1

3•2k+2k-2

≥

1

2

-

1

3

•

1

2k

（k=1，2，3，，n），
所以

x1-1

x2-1

+

x2-1

x3-1

++

xn-1

xn+1-1

≥(

1

2

+

1

2

++

1

2

)-

1

3

[

1

2

+(

1

2

)2++(

1

2

)n]
=

n

2

-

1

3

•

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=

n

2

-

1

3

•[1-(

1

2

)n]＞

n

2

-

1

3

．
所以

n

2

-

1

3

＜

x1-1

x2-1

+

x2-1

x3-1

++

xn-1

xn+1-1

＜

n

2

．（14分）

点评：本题考查数列知识的综合运用，难度较大，解题时要注意挖掘隐含条件，灵活运用公式．