Question

【题目】分别过椭圆E： =1（a＞b＞0）左、右焦点F1、F2的动直线l1、l2相交于P点，与椭圆E分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率分别为k1、k2、k3、k4 ， 且满足k1+k2=k3+k4 ， 已知当l1与x轴重合时，|AB|=2 ，|CD|= ．
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在定点M，N，使得|PM|+|PN|为定值？若存在，求出M、N点坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：当l1与x轴重合时，k1+k2=k3+k4=0，

即k3=﹣k4，

∴l2垂直于x轴，得|AB|=2a=2 ，|CD|= ，

解得a= ，b= ，

∴椭圆E的方程为

（2）解：焦点F1、F2坐标分别为（﹣1，0），（1，0），

当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（﹣1，0）或（1，0），

当直线l1，l2斜率存在时，设斜率分别为m1，m2，

设A（x1，y1），B（x2，y2），由 ，

得 ，

∴ ， ，

= = = ，

同理k3+k4= ，

∵k1+k2=k3+k4，

∴ ，即（m1m2+2）（m2﹣m1）=0，

由题意知m1≠m2，

∴m1m2+2=0，

设P（x，y），则 ，

即 ，x≠±1，

由当直线l1或l2斜率不存在时，

P点坐标为（﹣1，0）或（1，0）也满足，

∴点P（x，y）点在椭圆 上，

∴存在点M，N其坐标分别为（0，﹣1）、（0，1），

使得|PM|+|PN|为定值2

【解析】（1）由已知条件推导出|AB|=2a=2 ，|CD|= ，由此能求出椭圆E的方程．（2）焦点F1、F2坐标分别为（﹣1，0），（1，0），当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（﹣1，0）或（1，0），当直线l1 ， l2斜率存在时，设斜率分别为m1 ， m2 ， 设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），由 ，得 ，由此利用韦达定理结合题设条件能推导出存在点M，N其坐标分别为（0，﹣1）、（0，1），使得|PM|+|PN|为定值2 ．