【题目】分别过椭圆E: =1(a>b>0)左、右焦点F1、F2的动直线l1、l2相交于P点,与椭圆E分别交于A、B与C、D不同四点,直线OA、OB、OC、OD的斜率分别为k1、k2、k3、k4 , 且满足k1+k2=k3+k4 , 已知当l1与x轴重合时,|AB|=2
,|CD|=
.
(1)求椭圆E的方程;
(2)是否存在定点M,N,使得|PM|+|PN|为定值?若存在,求出M、N点坐标,若不存在,说明理由.
【答案】
(1)解:当l1与x轴重合时,k1+k2=k3+k4=0,
即k3=﹣k4,
∴l2垂直于x轴,得|AB|=2a=2 ,|CD|=
,
解得a= ,b=
,
∴椭圆E的方程为
(2)解:焦点F1、F2坐标分别为(﹣1,0),(1,0),
当直线l1或l2斜率不存在时,P点坐标为(﹣1,0)或(1,0),
当直线l1,l2斜率存在时,设斜率分别为m1,m2,
设A(x1,y1),B(x2,y2),由 ,
得 ,
∴ ,
,
=
=
=
,
同理k3+k4= ,
∵k1+k2=k3+k4,
∴ ,即(m1m2+2)(m2﹣m1)=0,
由题意知m1≠m2,
∴m1m2+2=0,
设P(x,y),则 ,
即 ,x≠±1,
由当直线l1或l2斜率不存在时,
P点坐标为(﹣1,0)或(1,0)也满足,
∴点P(x,y)点在椭圆 上,
∴存在点M,N其坐标分别为(0,﹣1)、(0,1),
使得|PM|+|PN|为定值2
【解析】(1)由已知条件推导出|AB|=2a=2 ,|CD|=
,由此能求出椭圆E的方程.(2)焦点F1、F2坐标分别为(﹣1,0),(1,0),当直线l1或l2斜率不存在时,P点坐标为(﹣1,0)或(1,0),当直线l1 , l2斜率存在时,设斜率分别为m1 , m2 , 设A(x1 , y1),B(x2 , y2),由
,得
,由此利用韦达定理结合题设条件能推导出存在点M,N其坐标分别为(0,﹣1)、(0,1),使得|PM|+|PN|为定值2
.
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【题目】如图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠DAB=90°,AD//BC,且BC⊥PB,△PAB是等边三角形,DA=AB=2,BC=AD,E是线段AB的中点.
(I)求证:PE⊥CD;
(II)求PC与平面PDE所成角的正弦值.
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【题目】一个多面体的直观图,正(主)视图,侧(左)视图如下所示,其中正(主)视图、侧(左)视图为边长为a的正方形.
(1)请在指定的框内画出多面体的俯视图;
(2)若多面体底面对角线AC,BD交于点O,E为线段AA1的中点,求证:OE∥平面A1C1C;
(3)求该多面体的表面积.
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【题目】已知函数f(x)=bax(a>0,且a≠1,b∈R)的图象经过点A(1,6),B(3,24).
(1)设g(x)= ﹣
,确定函数g(x)的奇偶性;
(2)若对任意x∈(﹣∞,1],不等式( )x≥2m+1恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)= ,g(x)=ax﹣3.
(1)当a=l时,确定函数h(x)=f(x)﹣g(x)在(0,+∞)上的单调性;
(2)若对任意x∈[0,4],总存在x0∈[﹣2,2],使得g(x0)=f(x)成立,求 实数a的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)= (a>0).
(1)证明函数f(x)在(0,2]上是减函数,(2,+∞)上是增函数;
(2)若方程f(x)=0有且只有一个实数根,判断函数g(x)=f(x)﹣4的奇偶性;
(3)在(2)的条件下探求方程f(x)=m(m≥8)的根的个数.
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