Question

【题目】如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，AD//BC，且BC⊥PB，△PAB是等边三角形，DA=AB=2，BC=AD，E是线段AB的中点.

（I）求证：PE⊥CD；

（II）求PC与平面PDE所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）PC与平面PDE所成角的正弦值为

【解析】【试题分析】（1）先证明线面垂直，再运用线面垂直的性质定理分析推证；（2）建立空间向量，运用向量的坐标形式及向量的数量积公式分析求解：

解：（I）证明：因为BC⊥AB,BC⊥PB,

所以BC⊥侧面PAB，

PE平面PAB，所以BC⊥PE.

又因为△PAB是等边三角形，E是线段AB的中点，

所以PE⊥AB.

因为AD∩AB=A，

所以PE⊥平面ABCD.

而CD平面ABCD，所以PE⊥CD.

（II）以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系E—xyz.

则E（0,0,0），C（1，-1,0），D（2,1,0），P（0,0， ）

有,,

设=(x,y,z)为平面PDE的法向量.

由

令x=1可得

设PC与平面PDE所成的角为

所以PC与平面PDE所成角的正弦值为